Plano de Argand-Gauss

A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário.
A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos:

Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss.

Com base no plano representado vamos calcular a distância p (letra grega: rô), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa forma temos:

O mód

ulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser representado por |z|.
A ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do segmento OP, é chamado de argumento de z (z ≠ 0) e é indicado por Arg(z). Baseado nessas definições podemos estabelecer as seguintes relações na interpretação geométrica dos complexos:

Exemplo
Calcule o módulo e o argumento do número complexo z = 1 + 2i.

Módulo
a = 1 e b = 2


Argumento
Ө = Arg(z) 

     Portanto, o argumento de z é o arco cuja tangente é 2.           

Veja como ficaria o gráfico representativo do número complexo z = 1 + 2i.

Adição, Subtração e multiplicação de números complexos!


Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i² 
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Forma trigonométrica de um número complexo

Forma trigonométrica de um número complexo

Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0). 
Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que:cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe: 

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ 
senӨ = b/p → b = p*senӨ 


Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi. 

z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ) 
Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiciações. 

Exemplo 1 
Represente o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica. 
Resolução: 
Temos que a = 1 e b = 1 



A forma trigonométrica do complexo z = 1 + i é z = √2*(cos45º + sen45º * i). 


Exemplo 2 
Represente trigonometricamente o complexo z = –√3 + i. 
Resolução: 
a = –√3 e b = 1 


A forma trigonométrica do complexo z = –√3 + i é z = 2*(cos150º + sen150º * i).

Curiosidades!

Curiosidades

   A partir da Igualdade de Euler,  

 é possível construir a seguinte  relação:

e^iπ + 1 = 0

Esta fórmula junta cinco dos mais importantes números da matemática: 0, 1, e, p e i e ainda três operações matemáticas - adição, multiplicação e exponenciação.

Euler adorava esta fórmula (considerava-a a mais bela das fórmulas) e mandou colocá-la por cima dos portões da Academia de S. Petersburgo, na Rússia.

  Da Igualdade de Euler temos que 

e^iπ = -1, e^i3π = -1, ...,  e^{i(2k + 1)π} = -1, k Î Z

 devido à periodicidade das funções trigonométricas. Assim 

log (-1) = i(2k + 1)π, k Î Z

o que levou Euler a concluir, sem grande dificuldade, que log (x) tem muitos valores quando trabalhamos nos complexos.

 Outra forma de estudar os números complexos, z = a + ib, é vê-los como matrizes quadradas 2 x 2 da forma:

Desta forma, todas as propriedades dos números complexos podem ser obtidas através do estudo de matrizes.

  Gauss  (1777-1855) pensava nos complexos como pontos do plano. Por sua vez de Moivre  (1667-1754), Euler e Vandermonde  (1735-1796) tiveram a mesma ideia pois, ao tentarem resolver a chamada equação ciclotómica

xⁿ - 1 = 0  

imaginaram as soluções como vértices de um polígono regular de n lados.

A álgebra demonstra-nos que qualquer polinómio de grau n em C tem n soluções. A equação anterior admite 1 como solução e, se desenharmos no plano complexo um polígono regular com n lados centrado na origem, com um vértice no ponto 1, os números complexos que correspondem ao demais vértices são as soluções da equação. Essas soluções são as raízes de índice n da unidade. 

 Aos números que são solução de uma equação ciclotómica é costume chamar-se Números de de Moivre.

De um modo geral as soluções da equação

   xⁿ - w = 0 

onde n é um número natural e w um número complexo dado, formam um polígono regular de n lados centrado na origem. 

Exemplos:

x⁴ - 1 = 0 admite como conjunto solução {1, -1, i, -i}

  

  x³ - 2 = 0 pela fórmula de de Moivre para a radiciação, admite como conjunto-solução {³Ö2, ³Ö2cis(2π/3), ³Ö2cis(4π/3)}

   Os números complexos, z = a + ib, em que tanto a parte real a como a parte imaginária b são números inteiros são designados por Inteiros Gaussianos.
Exemplo: 5 - i8 é um inteiro gaussiano, ao contrário de 1/2 + i2.

História de uma unidade imaginária

História de uma unidade imaginária

Em 1545, na Itália, pesquisavam-se as soluções de equações algébricas. Um folheto de problemas proposto pelo matemático Girolamo Cardano exibia o seguinte problema:

"Dividir o número 10 em duas parcelas cujo produto seja 40".

Para Cardano, "o problema é manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar": ele mostrou que os números 5 +  e 5 -  funcionariam como soluções do problema.

Contudo, ele não encontrou explicação para esses resultados. Somente supunha que esses números - uma vez obedecendo às regras da álgebra válidas para números reais - satisfaziam as condições impostas:

a soma dos dois números é 10;

produto dos dois números é 40.

Algo mais inquietante ocorria na resolução da equação x³ - 15x - 4 = 0. Cardano conhecia a solução x = 4, mas a aplicação de uma regra prática levava a .

Porém, como se chega a  = 4?

A resposta foi dada em 1572, por Rafael Bombelli, a quem ocorreu que talvez cada uma das parcelas (expressas como raízes cúbicas) fossem algo do tipo a +  e a - .

Supondo, novamente, que se pudessem operar tais entidades segundo as mesmas regras da álgebra dos números reais, ele chegou à forma:

 = 2 + 

 = 2 - 

e, finalmente,

 = 2 +  + 2 -  = 4.

O próprio Bombelli duvidou da validade desses resultados: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade."

De fato, os nomes atribuídos a esses novos números refletem bem o desconforto que causaram, na falta de coisa melhor: números "sofísticos", "sem significado", "impossíveis", "fictícios", "místicos", "imaginários".

Leonhard Euler

Mesmo assim, eles vieram resolver a insuficiência dos números reais para a solução das equações algébricas, resolvendo o problema das raízes desses números.

Entretanto, ainda faltava formalizarem-se as operações, propriedades e elementos especiais dos números complexos. Isso aconteceu mais de dois séculos depois com Leonhard Euler (1707-1783).

Euler começou por melhorar a simbologia dos números complexos, substituindo a notação  por i, sendo i um ente tal que i² = -1, chamado base dos números imaginários: a partir daí, o número a + b  passava a ser representado na sua forma algébrica, a + bi, possibilitando operações como se fossem polinômios.

a + bi  (c + di) = a  c + (b  d)i
(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Para quaisquer x, y, z complexos, também se provaram as propriedades: i²

associativa da adição (x + y) + z = x + (y + z) 

associativa do produto (x . y) . z = x . (y . z)

comutativa da adição x + y = y + x

comutativa da multiplicação x . y = y . x

existência de um elemento neutro para a adição 

outro neutro para o produto 

existência, para cada número, de elemento oposto 

Sólidos de revolução

Geometria espacial ITA (Problema 1)

Matematica 74. Esfera, Superfície Esférica, Cunha e Fuso

Aula 7 - Cones & Esferas

Números complexos (lista de reprodução)

História dos números complexos, Conjuntos Numéricos e Fórmula de Euler

Números Complexos - Exercícios

Questões:

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


02. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

 
04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

 
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2


06. A potência (1 - i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256


07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a: 

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1


08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5


09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.


10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ - 17x⁴ + 16 = 0.



Resolução:

01. C	02. C	03. C	04. A
05. E	06. E	07. E	08. D

 09. 3 - 2i; -3 + 2i
10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

Conceito e representações

"1.4. Insuficiência dos números reais para a resolução de equações algébricas de 2^° e 3^° graus; o conceito de número complexo e suas representações - geométrica, algébrica e trigonométrica; interpretação algébrica e geométrica das operações e das raízes de números complexos - raízes da unidade."

Na verdade os números complexos não apresentam uma grande dificuldade de definição e utilização.

Dada a seguinte equação do segundo grau:




Aplicando-se a fórmula de Bhaskara, tem-se:




que não possui solução dentro dos números reais.

Para resolver isso, entra-se no campo dos números complexos.

Define-se que:




como sendo uma unidade imaginária.

Logo a resolução do problema acima fica:




Com duas soluções dentro do conjunto dos números complexos:




O conjunto dos números complexos é indicado pela letra C.

Uma forma de representar um número complexo é:




onde a é a parte real e b a parte chamada de imaginária.

Se a=0 então o número é chamado de imaginário puro.

Note que se b=0 z é um número real. Então todo número real é um número complexo:

O que existe além dos números reais?

Gerônimo Cardano, médico e matemático italiano, publicou em 1545, em sua obra Ars magna, a resolução de equações do tipo x³ + px + q = 0. Essa resolução, relata Cardano, foi apresentada a ele por Nicolo Tartáglia. O método proposto por Tartáglia consiste em substituir a variável x por u – v tal que o produto uv seja um terço do coeficiente de x da equação. Cardano, resolvendo equações cúbicas através desse método, deparou-se com raízes quadradas de números negativos, que até então não eram aceitas pelos matemáticos. Vamos percorrer o mesmo caminho feito por Cardano para perceber algo surpreendente. Resolvamos a seguinte equação:

x³ - 6x + 4 = 0

Substituindo x por u – v de modo que o produto uv seja igual a um terço do coeficiente de x, que é -2 , obtém-se o sistema

(u – v)³ - 6(u – v) + 4 = 0

uv = -2

u³ - 3u²v + 3uv² - v³ - 6u + 6v + 4 = 0

uv = -2

Fazendo uv = -2 na primeira equação e isolando v na segunda , obtém-se:

u³ - v³ + 4 = 0

v = -2/u

Chamando u³ = t temos:

Nesse momento, Cardano concluiu: como não existe raiz quadrada de número negativo, temos que não existem u nem v e, conseqüentemente, não existe x, pois x = u – v. Porém, espantosamente ele verificou que o número real 2 é raiz da equação

x³ - 6x + 4 = 0, pois 2³ - 6.2 + 4 = 0.

Essa constatação levou Cardano a considerar a existência de novos números, como por exemplo:

Nessa mesma época, outro grande matemático italiano, Rafael Bombelli ( cerca de

1526 – 1573), teve o que chamou de “idéia louca”, operando com expressões que envolviam raízes quadradas de números negativos. Bombelli admitiu, por exemplo, a identidade:

Dando assim subsídios para o início da construção de um novo conjunto: o conjunto dos números complexos.

Até agora, o conjunto universo utilizado na resolução de problemas e equações foi o conjunto R dos números reais. Algumas equações não tinham solução no conjunto dos reais. É o caso, por exemplo, da equação x² + 1 = 0

x² + 1 = 0

x² = -1

S = {  }

Agora, veja que, se tomarmos como universo um conjunto para o qual se admita a existência de raiz quadrada de -1 a equação passará a ter solução não-vazia.

No conjunto dos números complexos,convenciona-se que:

Exemplo:

Vamos resolver a equação x² - 2x + 5 = 0.

Conjunto dos números complexos é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma z = a + bi , em que:

     A forma z = a + bi é denominada forma algébrica de um número complexo, em que a é a parte real e b, a parte imaginária.

Tomando um número complexo z = a + bi, temos:

a = 0   z = a + bi

b ≠ 0  (imaginário puro).

Dessa maneira, todo número real pode ser expresso na forma

a + bi com b = 0. Isso nos permite concluir que todo número real é também complexo.

Exemplo:

Os complexos 6i e –i são imaginários puros e os complexos 4 e 0 são reais.

Exercícios:

Classifique cada número complexo a seguir como imaginário puro ou real:

Determine o valor de m e n para que o complexo

z = (m² - 4) + (n³ - 27) i seja um imaginário puro.

Resolução:

z = a + bi é imaginário puro se a = 0 e b ≠ 0. Logo:

m² - 4 = 0

m² = 4

m = -2  ou m = 2

n³ - 27 ≠ 0

n³ ≠ 27

n ≠ 3

Dados os complexos a seguir, determine:

a) m e n para que z = m + (2m - n + 1)i seja imaginário puro.

Resolução:

m = 0

2m – n + 1 ≠ 0

-n ≠ -1

n ≠ 1

b) a e b para que z = (4a – 5) + (2b + 7)i seja real.

Resolução:

2b + 7 = 0                                   qualquer a є R

2b = -7

b = - 7/2

c) x e y para que z = (2x + 4) – (y – 3) i seja o real z = 0.

Resolução:

2x + 4 = 0                                       y – 3 = 0

2x = -4                                            y = 3

x = -4/2 = -2

Resolva as equações a seguir para U = C:

Igualdade e operações

Dados dois números complexos z₁ = a₁ + b₁i e z₂ = a₂ + b₂i, dizemos que eles são iguais quando a parte real de z₁ for igual a de z₂, o mesmo ocorrendo com as partes imaginárias:

a₁ + b₁i = a₂ + b₂i ↔  a₁ = a₂ e b₁ = b₂

Exemplo:

Considere os complexos z₁ = (a + 1) + 3i e z₂ = 4 + (2 – b) i. Teremos z₁ = z₂ se ocorrer:

(a + 1) + 3i = 4 + (2 – b) i

a + 1 = 4

a = 3

2 – b = 3

b = -1

Adição e subtração

Faz-se a adição ou a subtração dos complexos z₁ = a₁ + b₁i e

z₂ = a₂ + b₂i somando ou subtraindo as partes reais, a₁ e a₂  e as partes imaginárias b₁ e b₂:

(a₁ + b₁i) + (a₂+ b₂i) = (a₁+ a₂) + (b₁+ b₂) i

(a₁ + b₁i) - (a₂ + b₂i) = (a₁ - a₂ ) + (b₁ - b₂) i

Dados os complexos z₁ = 2 – 3i e z₂ = z₂ = 4 + 6i, temos:

a)    z₁ + z₂ = 2 – 3i + 4 + 6i = 6 + 3i

b)    z₁ - z₂ =  2 – 3i – ( 4 + 6i ) = -2 – 9i

c)z₂ – z₁ = 4 + 6i – ( 2 – 3i ) = 2 + 9i

d)2z₁= z₁ +  z₁ = 2 – 3i + 2 – 3i = 4 – 6i

e)2z₂ = z₂ + z₂ = 4 + 6i + 4 + 6i = 8 + 12i

Efetue as operações indicadas:

a)(6 + 5i) + (3 – 4i) = 6 + 5i + 3 – 4i = (6 + 3) + (5 – 4)i = 9 + i

b)(1 – i) – (3 – 2i) = 1 – i – 3 + 2i = (1 – 3) + (2 – 1)i = -2 + i

Multiplicação

Na multiplicação dos complexos   z₁ = a₁ + b₁i e z₂ = a₂ + b₂i, procede-se como na multiplicação de dois binômios, fazendo

i² = -1. Assim:

z₁ = a₁ + b₁i

z₂ = a₂ + b₂i

z₁ . z₂ = (a₁ + b₁i).( a₂ + b₂i)

z₁ . z₂ = a₁a₂ + a₁b₂i + a₂ b₁i + b₁ b₂i²

Como i² = -1, temos:

(a₁ + b₁i).( a₂ + b₂i) = (a₁a₂ - b₁ b₂) + (a₁b₂ + a₂ b₁) i

Exemplos:

Vamos multiplicar z₁ = 3 + 2i por z₂ = 3 + 4i

z₁ . z₂ = (3 + 2i )( 3 + 4i) = 9 + 12i + 6i + 8i² = 9 + 18i + 8(-1) =

9 + 18i – 8 = 1 + 18i

Se z₁ = 4 e z₂ = 2 -  5i, temos:

z₁ . z₂ = 4(2 – 5i) = 8 – 20i

Pode ocorrer também que o produto de dois números complexos seja um número real:

z₁ = 2 + i

z₂ = 2 – i

z₁ . z₂ = (2 + i) (2 – i) = 4 – i² = 5

Dados z₁ = 1 – 3i e z₂ = 2 + i, calcule:

    a)  z₁ . z₂

         z₁ . z₂ = (1 – 3i)(2 + i) = 2 + i – 6i – 3i² = 2 – 5i + 3 = 5 – 5i

   

    b) 2z₁ - 3z₂

            2z₁ - 3z₂  = 2(1 – 3i) – 3(2 + i) = 2 – 6i – 6 – 3i = - 4 – 9i      

      

    c)  z₁²

        (1 – 3i)² = 1 – 6i + 9i² = 1 – 6i – 9 = - 8 – 6i

    d)  z₂²

        (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i

     e) (z₁ + z₂)( z₁ - z₂) 

         (1 – 3i + 2 + i)[1 – 3i – (2 + i)] =

         = (3 – 2i)[1 – 3i – 2 – i] = (3 – 2i)[-1 – 4i] =

         = -3 – 12i + 2i + 8 i² = -3 – 12i + 2i – 8 = -11 – 10i

Dados os complexos  z₁ = a + 2i e z₂ = 3 – bi, determine a e b para que 2z₁ - z₂  seja um imaginário puro.

Resolução:

z₁ = a + 2i

z₂ = 3 – bi

2z₁ - z₂ = 2(a + 2i) – (3 – bi) = 2a + 4i – 3 + bi =

= (2a – 3) + (4 + b)i

Para  2z₁ - z₂  seja um imaginário puro devemos impor:

2a – 3 = 0

2a = 3

a = 3/2

4 + b ≠ 0

b ≠ - 4

Calcule o valor do número z = (5 – i)² + (5 + i)².

Resolução:

z = 25 – 10i + i² + 25 + 10i + i² = 25 – 10i – 1 + 25 + 10i – 1 = 48

Determine o valor real de x para que o número complexo:

z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário puro.

Para que z seja um imaginário puro é necessário que Re(z) = 0,

Pois Im(z) = 3 ≠ 0

Então:

1 – 2x = 0

     -2x = -1

        x = 1/2

verificando, vem:

z = (1 – 2x) + 3i = (1-2.1/2) + 3i = 0 + 3i = 3i (imaginário puro)

logo, x = 1/2

z = (8 – x) + (2x – 3)i seja um número imaginário puro.

8 – x = 0

      x = 8

para x = 8, temos:

(2.8 – 3) = 13 ≠ 0

Logo, x = 8

Conjugado de um complexo

Vamos obter os conjugados dos seguintes números:

Divisão

Dados os complexos z₁ e  z₂   com z₂  ≠ 0, podemos fazer

 z₁ /z₂    multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador.

Considere z₁ = a₁ + b1i e z₂ = a₂ + b₂i.

Exemplos:

Vamos efetuar a divisão de z₁ = 2 + 4i   por   z₂ = 5 – i ;

Utilizando o conjugado de um número z, vamos obter o seu inverso:

Escreva os conjugados dos seguintes complexos:

z = -3i + 1

conjugado: 1 + 3i

Efetue as divisões:

Simplifique a expressão:

Determine o número complexo z tal que:

(a + bi) – (a – bi) + (a + bi)(a – bi) = 8 + 4i

a  +  bi – a + bi + a² - abi + abi – bi² = 8 + 4i

2bi + a² + b² = 8 + 4i

2b = 4

b = 2

a² + b² = 8

a² + 4 = 8

a² = 4

Logo, z = 2 + 2i  ou  z = -2 + 2i

Potências de i

Estudando as potências de i