APLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS

Resumo: Há muito tempo, em nossos currículos de ensino médio, trabalhamos com números complexos. Muitas vezes, passamos a nossos alunos a idéia de que a unidade imaginária i, serve apenas para extrair uma raiz negativa e não proporcionamos a eles a oportunidade de perceber o quão importante o conjunto dos números complexos é em suas aplicações. Com este artigo, tenho o objetivo de apresentar, de uma forma simples, como podemos fazer com que o aluno compreenda em que universo é aplicada a tão sugestiva unidade imaginária i.
Palavras-chave: números complexos, aplicação de números complexos, números complexos na física, números complexos no ensino médio.
 
Números Complexos e a Física
Há mais de 200 anos, a física e a matemática estão intimamente ligadas no que diz respeito a conjuntos numéricos.
Embora não haja um estudo mais aprofundado, já se sabe que atualmente, na física contemporânea, a aplicação do conjunto dos números complexos é tão grande, que é até possível pensar em uma autêntica " complejificación de la física", como cita o autor Frederico de Rubio y Galy em "The Role of Mathematics in the Rise of Science".
Nesta mesma obra, Dr Frederico dá aos números complexos a idéia de par ordenado: " um par ordenado de números reais, onde suas coordenadas representam a parte real e imaginária do complexo". Assim, apresenta como os números complexos podem multiplicar-se e como é simples a sua representação como vetor.
Fica claro então, como o universo de complexos se expande no mundo da física, onde é utilizado pelos físicos contemporâneos de forma familiar em diversas teorias. Vejamos alguns exemplos.
 
 
Vetores e Quantidades Complexas
Dado um número complexo determinado por ( a,b ), onde a e b são números reais, podemos facilmente representa-lo em um plano. Tomando como base a localização de pares ordenados, localizamos o par ( a,b ) e formamos o vetor com origem em ( 0,0 ) e extremidade em ( a,b ).
Para facilitar essa representação, vamos utilizar uma nova quantidade que chamaremos de operador i, embora alguns autores também o denominam operador j. Observemos a figura:

Figura I





O vetor H, representado sobre o eixo de referência, à direita do eixo vertical está sofrendo uma rotação. Ao se deslocar para a esquerda do eixo vertical, temos o vetor – H , que é o próprio vetor H multiplicado por –1. Então, se para fazer com que o vetor gire 180° é necessário multiplica-lo por –1, para que sua rotação seja de 90° ( e o vetor se localize sobre o eixo vertical ) é necessário multiplica-lo por , pois . = -1.
A expressão  não é aceita como número real e é então simbolizada pela letra i. Assim, qualquer vetor multiplicado por i, sofre uma rotação de 90° .
Portanto, na figura anterior temos:

Figura II


Esta representação onde o vetor acompanhado de +i está no eixo vertical para cima e acompanhado de –i está no eixo vertical para baixo é chamada forma complexa.
 
 
Números complexos e circuitos monofásicos
No estudo de circuitos, a aplicação de números complexos aparece na forma de vetores, que determinam algumas equações importantes, com a presença da unidade imaginária.
Um circuito monofásico é alimentado por uma única tensão alternada. Quando a única dificuldade que a tensão sofre é a resistência efetiva, o circuito é dito puramente resistivo. Nesse circuito, a tensão Er e a intensidade de corrente I atingem valores correspondentes ao mesmo tempo, o que faz com que os seus vetores representativos fiquem sobre o eixo de referência. Dizemos então que as grandezas estão em fase.
 
 


Figura III
 
 

Figura IV





Quando a dificuldade que a corrente sofre é a reatância capacitiva, o circuito é chamado puramente capacitivo. Nesse circuito, Ec e I não atingem valores correspondentes ao mesmo tempo, de modo que os vetores que as representam fiquem um sobre cada eixo. Neste caso, dizemos que Ec e I estão defasadas 90° ( I se antecipa aos valores de Ec ).
 
 


Figura V
 
 

Figura VI


Quando o circuito apresenta como dificuldade à reatância indutiva, o circuito é chamado de puramente indutivo. Nesse circuito Ei e I também estão defasadas 90° (I está atrasada aos valores de Ei).

Figura VII
 
 

Figura VIII





Circuito em fase tipo R –C
R e C simbolizam a resistência e a capacitância equivalente. Nesse circuito, a dificuldade encontrada pela fonte para estabelecer uma corrente no circuito é determinada pela soma vetorial de R e X_c.A tensão E é a soma vetorial das componentes Er e Ec.

Figura IX Observa-se que o ângulo de defasagem é menor que 90° , assim, podemos representar o vetor E na forma trigonométrica, onde E = E cos q - i sen q ou na forma binômia E = Er – i Ec.
Circuito em série tipo R – L – C
Neste tipo de circuito três situações podem ocorrer:

Figura X





No primeiro caso, o circuito comporta-se como circuito indutivo, o segundo como capacitivo e o terceiro como resistivo.
Nesse caso o vetor é representado na forma E = Er + i ( El – Ec ) = E cos q + i sen q .
 
 
Números complexos e sinais sinusoidais
Além das formas trigonométrica e binômia, os números complexos podem ser representado em notação exponencial, onde Z = P e ^iq, sendo P o módulo do complexo e q o ângulo formado com o eixo de referência ( argumento ).
Esta propriedade dos complexos é muito utilizada para expressar as funções seno e cosseno em notação exponencial, onde:
cos ( x) = 
sen (x) = 
Assim, podemos representar as exponenciais complexas:
e ^{i (x)} = cos (x) + i sen (x)
e ^{–i (x)} = cos (x) - i sen (x)
Com isso, a resolução de uma equação com funções sinusoidais pode ser efetuada recorrendo a uma função exponencial complexa.
Números complexos e a função de onda
A equação de onda que rege o movimento dos elétrons foi obtida por Schrodinger em 1925. Esta equação é análoga a equação de onda clássica e o que a difere é justamente a aparição explícita do número imaginário i.. Vejamos

Vemos que essa equação é satisfeita pela função de onda harmônica, que nada mais é que um complexo em sua forma polar:

As funções de onda de Schrodinger não são necessariamente reais, contudo a probabilidade de encontrar um elétron é totalmente real. Para podermos encontrar essa probabilidade, mudaremos a interpretação da equação de onda de modo que ela seja real. Para isso, utilizaremos a propriedade que o complexo possui de, quando multiplicado por seu conjugado, se tornar real. Assim, a probabilidade será dada por:
, onde é o conjugado do complexo 
 
 
Esta equação é chamada de equação de normalização. Essa condição tem um papel importante na mecânica quântica, pois coloca uma restrição nas soluções da equação de Schrodinger que leva à quantização de energia.
Com os aspectos abordados acima, percebemos que o conjunto de números complexos tem um universo infinito de aplicações, que com a Física Moderna e descobertas recentes está aumentado cada vez mais. A exposição dessas aplicações no ensino médio deve ser feita de maneira simples e superficial, visto que nossos alunos não possuem muitos dos conhecimentos aqui abordados, mas o certo é, que não podemos priva-los desse entendimento.
Atualmente, o ensino da matemática em geral deve procurar trabalhar com exemplos práticos, na vida e em outras disciplinas (trabalhar a interdisciplinaridade), para despertar no aluno à vontade e o desejo de aprender. Com isso, qualquer assunto ou tópico construirá um conhecimento sólido e não superficial e os alunos conseguirão estabelecer relações mais facilmente.