Plano de Argand-Gauss





A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário.
A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos:
Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss.

Com base no plano representado vamos calcular a distância p (letra grega: rô), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa forma temos:
O mód
ulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser representado por |z|.
A ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do segmento OP, é chamado de argumento de z (z ≠ 0) e é indicado por Arg(z). Baseado nessas definições podemos estabelecer as seguintes relações na interpretação geométrica dos complexos:

Exemplo
Calcule o módulo e o argumento do número complexo z = 1 + 2i.

Módulo
a = 1 e b = 2


Argumento
Ө = Arg(z) 
     Portanto, o argumento de z é o arco cuja tangente é 2.           
Veja como ficaria o gráfico representativo do número complexo z = 1 + 2i.
Adição, Subtração e multiplicação de números complexos!


Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Forma trigonométrica de um número complexo

Forma trigonométrica de um número complexo


Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0). 
Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que:cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe: 

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ 
senӨ = b/p → b = p*senӨ 


Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi. 

z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ) 
Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiciações. 

Exemplo 1 
Represente o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica. 
Resolução: 
Temos que a = 1 e b = 1 



A forma trigonométrica do complexo z = 1 + i é z = √2*(cos45º + sen45º * i)


Exemplo 2 
Represente trigonometricamente o complexo z = –√3 + i. 
Resolução: 
a = –√3 e b = 1 


A forma trigonométrica do complexo z = –√3 + i é z = 2*(cos150º + sen150º * i).

Curiosidades!


Curiosidades

   A partir da Igualdade de Euler,  
 é possível construir a seguinte  relação:
eiπ + 1 = 0
Esta fórmula junta cinco dos mais importantes números da matemática: 0, 1, e, p i e ainda três operações matemáticas - adição, multiplicação e exponenciação.
Euler adorava esta fórmula (considerava-a a mais bela das fórmulas) e mandou colocá-la por cima dos portões da Academia de S. Petersburgo, na Rússia.

  Da Igualdade de Euler temos que 
eiπ = -1, ei3π = -1, ...,  ei(2k + 1)π = -1, k Î Z
 devido à periodicidade das funções trigonométricas. Assim 
log (-1) = i(2k + 1)π, k Î Z
o que levou Euler a concluir, sem grande dificuldade, que log (x) tem muitos valores quando trabalhamos nos complexos.

 Outra forma de estudar os números complexos, z = a + ib, é vê-los como matrizes quadradas 2 x 2 da forma:
Desta forma, todas as propriedades dos números complexos podem ser obtidas através do estudo de matrizes.

  Gauss  (1777-1855) pensava nos complexos como pontos do plano. Por sua vez de Moivre  (1667-1754), Euler e Vandermonde  (1735-1796) tiveram a mesma ideia pois, ao tentarem resolver a chamada equação ciclotómica
x- 1 = 0  
imaginaram as soluções como vértices de um polígono regular de n lados.
A álgebra demonstra-nos que qualquer polinómio de grau n em C tem n soluções. A equação anterior admite 1 como solução e, se desenharmos no plano complexo um polígono regular com n lados centrado na origem, com um vértice no ponto 1, os números complexos que correspondem ao demais vértices são as soluções da equação. Essas soluções são as raízes de índice n da unidade
 Aos números que são solução de uma equação ciclotómica é costume chamar-se Números de de Moivre.
De um modo geral as soluções da equação
   x- w = 0 
onde n é um número natural e w um número complexo dado, formam um polígono regular de n lados centrado na origem. 
Exemplos:
x- 1 = 0 admite como conjunto solução {1, -1, i, -i}
  

  x- 2 = 0 pela fórmula de de Moivre para a radiciação, admite como conjunto-solução {3Ö23Ö2cis(2π/3), 3Ö2cis(4π/3)}

   Os números complexos, z = a + ib, em que tanto a parte real a como a parte imaginária b são números inteiros são designados por Inteiros Gaussianos.
Exemplo: 5 - i8 é um inteiro gaussiano, ao contrário de 1/2 + i2.

História de uma unidade imaginária


História de uma unidade imaginária


Em 1545, na Itália, pesquisavam-se as soluções de equações algébricas. Um folheto de problemas proposto pelo matemático Girolamo Cardano exibia o seguinte problema:

"Dividir o número 10 em duas parcelas cujo produto seja 40".

Para Cardano, "o problema é manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar": ele mostrou que os números 5 +  e 5 -  funcionariam como soluções do problema.

Contudo, ele não encontrou explicação para esses resultados. Somente supunha que esses números - uma vez obedecendo às regras da álgebra válidas para números reais - satisfaziam as condições impostas:

  • a soma dos dois números é 10;
  • produto dos dois números é 40.

    Algo mais inquietante ocorria na resolução da equação x3 - 15x - 4 = 0. Cardano conhecia a solução x = 4, mas a aplicação de uma regra prática levava a .

    Porém, como se chega a  = 4?

    A resposta foi dada em 1572, por Rafael Bombelli, a quem ocorreu que talvez cada uma das parcelas (expressas como raízes cúbicas) fossem algo do tipo a +  e a - .

    Supondo, novamente, que se pudessem operar tais entidades segundo as mesmas regras da álgebra dos números reais, ele chegou à forma:

     = 2 + 

     = 2 - 

    e, finalmente,

     = 2 +  + 2 -  = 4.

    O próprio Bombelli duvidou da validade desses resultados: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade."

    De fato, os nomes atribuídos a esses novos números refletem bem o desconforto que causaram, na falta de coisa melhor: números "sofísticos", "sem significado", "impossíveis", "fictícios", "místicos", "imaginários".

    Leonhard Euler

    Mesmo assim, eles vieram resolver a insuficiência dos números reais para a solução das equações algébricas, resolvendo o problema das raízes desses números.

    Entretanto, ainda faltava formalizarem-se as operações, propriedades e elementos especiais dos números complexos. Isso aconteceu mais de dois séculos depois com Leonhard Euler (1707-1783).

    Euler começou por melhorar a simbologia dos números complexos, substituindo a notação  por i, sendo i um ente tal que i2 = -1, chamado base dos números imaginários: a partir daí, o número a + b  passava a ser representado na sua forma algébrica, a + bi, possibilitando operações como se fossem polinômios.

    a + bi  (c + di) = a  c + (b  d)i
    (a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

    Para quaisquer x, y, z complexos, também se provaram as propriedades: i2
  • associativa da adição (x + y) + z = x + (y + z) 
  • associativa do produto (x . y) . z = x . (y . z)
  • comutativa da adição x + y = y + x
  • comutativa da multiplicação x . y = y . x
  • existência de um elemento neutro para a adição 
  • outro neutro para o produto 
  • existência, para cada número, de elemento oposto 

  • Sólidos de revolução

    Geometria espacial ITA (Problema 1)