cone de revolução

   O cone de revolução é gerado pela revolução de um triângulo rectângulo, em torno de um dos seus catetos (eixo de revolução), dando uma volta completa.

    O cone de revolução é limitado por:

• uma face plana, que é um círculo, à qual chamamos base do cone;
• uma superfície curva, a superfície lateral, que tem um ponto notável ao qual se dá o nome de vértice do cone.

    O vértice do cone está a igual distância de todos os pontos da circunferência da base.

    O cone representado na figura acima foi gerado pelo triângulo [VOA] , rectângulo em O, ao rodar em torno do cateto [VO] . Este cateto chama-se eixo do cone e o seu comprimento é a altura do cone. O cateto [OA] gera a base do cone, que é um círculo de centro O. A geratriz do cone é a hipotenusa [VA] que gera a superfície lateral do cone.

    Para o cálculo da área do cone de revolução, podemos fazer uma analogia com a pirâmide regular, uma vez que podemos considerar que um cone é uma pirâmide com infinitas faces. Para tal, consideremos uma pirâmide regular inscrita no cone de revolução. A base da pirâmide está inscrita na base do cone e as arestas laterais da pirâmide são geratrizes do cone.

    Duplicando sucessivamente o número de faces laterais da pirâmide, verifica-se que quando este número é suficientemente grande:

• as arestas da base da pirâmide vão-se aproximando cada vez mais da circunferência que limita a base do cone;
• o apótema da pirâmide vai-se aproximando da geratriz do cone.

    Por tudo isto, podemos dizer que a área da superfície lateral da pirâmide aproxima-se da área da superfície lateral do cone.
    Sendo assim, temos que a área lateral é dada por A_l = (P . g) / 2 , onde P é o perímetro da base e g a geratriz do cone. Como P = 2 p r vem que A_l = p rg. A área da superfície total do cone de revolução vem então traduzida pela seguinte fórmula:

A_t = A_l + A_b « A_t = p rg + p r²

    Através do princípio de Cavalieri é possível calcular o volume de um cone de revolução de altura h e raio da base r. Para isso, temos que construir uma pirâmide regular da mesma altura h e cuja área da base seja igual à área da base do cone, ou seja, igual a B. Temos ainda que considerar um plano a paralelo ao plano das bases e que diste d do vértice. As secções B₁ e B₂ são, respectivamente, as secções feitas no cone e na pirâmide pelo plano a.

    Através de homotetias e do princípio de Cavalieri, conclui-se que o volume do cone e da pirâmide são iguais. Logo, o volume do cone é obtido pela fórmula:

V = (A_b . h) / 3.

Planificação: