História de uma unidade imaginária


História de uma unidade imaginária


Em 1545, na Itália, pesquisavam-se as soluções de equações algébricas. Um folheto de problemas proposto pelo matemático Girolamo Cardano exibia o seguinte problema:

"Dividir o número 10 em duas parcelas cujo produto seja 40".

Para Cardano, "o problema é manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar": ele mostrou que os números 5 +  e 5 -  funcionariam como soluções do problema.

Contudo, ele não encontrou explicação para esses resultados. Somente supunha que esses números - uma vez obedecendo às regras da álgebra válidas para números reais - satisfaziam as condições impostas:

  • a soma dos dois números é 10;
  • produto dos dois números é 40.

    Algo mais inquietante ocorria na resolução da equação x3 - 15x - 4 = 0. Cardano conhecia a solução x = 4, mas a aplicação de uma regra prática levava a .

    Porém, como se chega a  = 4?

    A resposta foi dada em 1572, por Rafael Bombelli, a quem ocorreu que talvez cada uma das parcelas (expressas como raízes cúbicas) fossem algo do tipo a +  e a - .

    Supondo, novamente, que se pudessem operar tais entidades segundo as mesmas regras da álgebra dos números reais, ele chegou à forma:

     = 2 + 

     = 2 - 

    e, finalmente,

     = 2 +  + 2 -  = 4.

    O próprio Bombelli duvidou da validade desses resultados: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade."

    De fato, os nomes atribuídos a esses novos números refletem bem o desconforto que causaram, na falta de coisa melhor: números "sofísticos", "sem significado", "impossíveis", "fictícios", "místicos", "imaginários".

    Leonhard Euler

    Mesmo assim, eles vieram resolver a insuficiência dos números reais para a solução das equações algébricas, resolvendo o problema das raízes desses números.

    Entretanto, ainda faltava formalizarem-se as operações, propriedades e elementos especiais dos números complexos. Isso aconteceu mais de dois séculos depois com Leonhard Euler (1707-1783).

    Euler começou por melhorar a simbologia dos números complexos, substituindo a notação  por i, sendo i um ente tal que i2 = -1, chamado base dos números imaginários: a partir daí, o número a + b  passava a ser representado na sua forma algébrica, a + bi, possibilitando operações como se fossem polinômios.

    a + bi  (c + di) = a  c + (b  d)i
    (a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

    Para quaisquer x, y, z complexos, também se provaram as propriedades: i2
  • associativa da adição (x + y) + z = x + (y + z) 
  • associativa do produto (x . y) . z = x . (y . z)
  • comutativa da adição x + y = y + x
  • comutativa da multiplicação x . y = y . x
  • existência de um elemento neutro para a adição 
  • outro neutro para o produto 
  • existência, para cada número, de elemento oposto 

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