Curiosidades!

Curiosidades

   A partir da Igualdade de Euler,  

 é possível construir a seguinte  relação:

e^iπ + 1 = 0

Esta fórmula junta cinco dos mais importantes números da matemática: 0, 1, e, p e i e ainda três operações matemáticas - adição, multiplicação e exponenciação.

Euler adorava esta fórmula (considerava-a a mais bela das fórmulas) e mandou colocá-la por cima dos portões da Academia de S. Petersburgo, na Rússia.

  Da Igualdade de Euler temos que 

e^iπ = -1, e^i3π = -1, ...,  e^{i(2k + 1)π} = -1, k Î Z

 devido à periodicidade das funções trigonométricas. Assim 

log (-1) = i(2k + 1)π, k Î Z

o que levou Euler a concluir, sem grande dificuldade, que log (x) tem muitos valores quando trabalhamos nos complexos.

 Outra forma de estudar os números complexos, z = a + ib, é vê-los como matrizes quadradas 2 x 2 da forma:

Desta forma, todas as propriedades dos números complexos podem ser obtidas através do estudo de matrizes.

  Gauss  (1777-1855) pensava nos complexos como pontos do plano. Por sua vez de Moivre  (1667-1754), Euler e Vandermonde  (1735-1796) tiveram a mesma ideia pois, ao tentarem resolver a chamada equação ciclotómica

xⁿ - 1 = 0  

imaginaram as soluções como vértices de um polígono regular de n lados.

A álgebra demonstra-nos que qualquer polinómio de grau n em C tem n soluções. A equação anterior admite 1 como solução e, se desenharmos no plano complexo um polígono regular com n lados centrado na origem, com um vértice no ponto 1, os números complexos que correspondem ao demais vértices são as soluções da equação. Essas soluções são as raízes de índice n da unidade. 

 Aos números que são solução de uma equação ciclotómica é costume chamar-se Números de de Moivre.

De um modo geral as soluções da equação

   xⁿ - w = 0 

onde n é um número natural e w um número complexo dado, formam um polígono regular de n lados centrado na origem. 

Exemplos:

x⁴ - 1 = 0 admite como conjunto solução {1, -1, i, -i}

  

  x³ - 2 = 0 pela fórmula de de Moivre para a radiciação, admite como conjunto-solução {³Ö2, ³Ö2cis(2π/3), ³Ö2cis(4π/3)}

   Os números complexos, z = a + ib, em que tanto a parte real a como a parte imaginária b são números inteiros são designados por Inteiros Gaussianos.
Exemplo: 5 - i8 é um inteiro gaussiano, ao contrário de 1/2 + i2.