O que existe além dos números reais?

Gerônimo Cardano, médico e matemático italiano, publicou em 1545, em sua obra Ars magna, a resolução de equações do tipo x³ + px + q = 0. Essa resolução, relata Cardano, foi apresentada a ele por Nicolo Tartáglia. O método proposto por Tartáglia consiste em substituir a variável x por u – v tal que o produto uv seja um terço do coeficiente de x da equação. Cardano, resolvendo equações cúbicas através desse método, deparou-se com raízes quadradas de números negativos, que até então não eram aceitas pelos matemáticos. Vamos percorrer o mesmo caminho feito por Cardano para perceber algo surpreendente. Resolvamos a seguinte equação:

x³ - 6x + 4 = 0

Substituindo x por u – v de modo que o produto uv seja igual a um terço do coeficiente de x, que é -2 , obtém-se o sistema

(u – v)³ - 6(u – v) + 4 = 0
uv = -2

u³ - 3u²v + 3uv² - v³ - 6u + 6v + 4 = 0
uv = -2

Fazendo uv = -2 na primeira equação e isolando v na segunda , obtém-se:

u³ - v³ + 4 = 0
v = -2/u
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Chamando u³ = t temos:
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Nesse momento, Cardano concluiu: como não existe raiz quadrada de número negativo, temos que não existem u nem v e, conseqüentemente, não existe x, pois x = u – v. Porém, espantosamente ele verificou que o número real 2 é raiz da equação
x³ - 6x + 4 = 0, pois 2³ - 6.2 + 4 = 0.
Essa constatação levou Cardano a considerar a existência de novos números, como por exemplo:
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Nessa mesma época, outro grande matemático italiano, Rafael Bombelli ( cerca de
1526 – 1573), teve o que chamou de “idéia louca”, operando com expressões que envolviam raízes quadradas de números negativos. Bombelli admitiu, por exemplo, a identidade:
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Dando assim subsídios para o início da construção de um novo conjunto: o conjunto dos números complexos.
Até agora, o conjunto universo utilizado na resolução de problemas e equações foi o conjunto R dos números reais. Algumas equações não tinham solução no conjunto dos reais. É o caso, por exemplo, da equação x² + 1 = 0
x² + 1 = 0
x² = -1
S = {  }
Agora, veja que, se tomarmos como universo um conjunto para o qual se admita a existência de raiz quadrada de -1 a equação passará a ter solução não-vazia.
No conjunto dos números complexos,convenciona-se que:
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Exemplo:
Vamos resolver a equação x² - 2x + 5 = 0.
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Conjunto dos números complexos é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma z = a + bi , em que:
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     A forma z = a + bi é denominada forma algébrica de um número complexo, em que a é a parte real e b, a parte imaginária.
Tomando um número complexo z = a + bi, temos:
a = 0   z = a + bi
b ≠ 0  (imaginário puro).
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Dessa maneira, todo número real pode ser expresso na forma
a + bi com b = 0. Isso nos permite concluir que todo número real é também complexo.
Exemplo:
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Os complexos 6i e –i são imaginários puros e os complexos 4 e 0 são reais.
Exercícios:
Classifique cada número complexo a seguir como imaginário puro ou real:
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Determine o valor de m e n para que o complexo
z = (m² - 4) + (n³ - 27) i seja um imaginário puro.
Resolução:
z = a + bi é imaginário puro se a = 0 e b 0. Logo:
m² - 4 = 0
m² = 4
m = -2  ou m = 2
n³ - 27 0
27
n 3

Dados os complexos a seguir, determine:
a) m e n para que z = m + (2m - n + 1)i seja imaginário puro.
Resolução:
m = 0
2m – n + 1 0
-n -1
n 1
b) a e b para que z = (4a – 5) + (2b + 7)i seja real.
Resolução:
2b + 7 = 0                                   qualquer a є R
2b = -7
b = - 7/2

c) x e y para que z = (2x + 4) – (y – 3) i seja o real z = 0.
Resolução:
2x + 4 = 0                                       y – 3 = 0
2x = -4                                            y = 3
x = -4/2 = -2

Resolva as equações a seguir para U = C:
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Igualdade e operações

Dados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, dizemos que eles são iguais quando a parte real de z1 for igual a de z2, o mesmo ocorrendo com as partes imaginárias:
a1 + b1i = a2 + b2i ↔  a1 = a2 e b1 = b2

Exemplo:
Considere os complexos z1 = (a + 1) + 3i e z2 = 4 + (2 – b) i. Teremos z1 = z2 se ocorrer:
(a + 1) + 3i = 4 + (2 – b) i
a + 1 = 4
a = 3
2 – b = 3
b = -1

Adição e subtração

Faz-se a adição ou a subtração dos complexos z1 = a1 + b1i e
z2 = a2 + b2i somando ou subtraindo as partes reais, a1 e a2  e as partes imaginárias b1 e b2:
(a1 + b1i) + (a2+ b2i) = (a1+ a2) + (b1+ b2) i

(a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2) i
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Dados os complexos z1 = 2 – 3i e z2 = z2 = 4 + 6i, temos:
a)    z1 + z2 = 2 – 3i + 4 + 6i = 6 + 3i
b)    z1 - z2 =  2 – 3i – ( 4 + 6i ) = -2 – 9i
c)z2 – z1 = 4 + 6i – ( 2 – 3i ) = 2 + 9i
d)2z1= z1 +  z1 = 2 – 3i + 2 – 3i = 4 – 6i
e)2z2 = z2 + z2 = 4 + 6i + 4 + 6i = 8 + 12i

Efetue as operações indicadas:
a)(6 + 5i) + (3 – 4i) = 6 + 5i + 3 – 4i = (6 + 3) + (5 – 4)i = 9 + i
b)(1 – i) – (3 – 2i) = 1 – i – 3 + 2i = (1 – 3) + (2 – 1)i = -2 + i

Multiplicação
Na multiplicação dos complexos   z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, procede-se como na multiplicação de dois binômios, fazendo
i² = -1. Assim:
z1 = a1 + b1i
z2 = a2 + b2i
z1 . z2 = (a1 + b1i).( a2 + b2i)
z1 . z2 = a1a2 + a1b2i + a2 b1i + b1 b2
Como i² = -1, temos:
(a1 + b1i).( a2 + b2i) = (a1a2 - b1 b2) + (a1b2 + a2 b1) i

Exemplos:
Vamos multiplicar z1 = 3 + 2i por z2 = 3 + 4i
z1 . z2 = (3 + 2i )( 3 + 4i) = 9 + 12i + 6i + 8i² = 9 + 18i + 8(-1) =
9 + 18i – 8 = 1 + 18i

Se z1 = 4 e z2 = 2 -  5i, temos:
z1 . z2 = 4(2 – 5i) = 8 – 20i
Pode ocorrer também que o produto de dois números complexos seja um número real:
z1 = 2 + i
z2 = 2 – i
z1 . z2 = (2 + i) (2 – i) = 4 – i² = 5


Dados z1 = 1 – 3i e z2 = 2 + i, calcule:
    a)  z1 . z2
         z1 . z2 = (1 – 3i)(2 + i) = 2 + i – 6i – 3i² = 2 – 5i + 3 = 5 – 5i
   
    b) 2z1 - 3z2
            2z1 - 3z2  = 2(1 – 3i) – 3(2 + i) = 2 – 6i – 6 – 3i = - 4 – 9i      
      
    c)  z1²
        (1 – 3i)² = 1 – 6i + 9i² = 1 – 6i – 9 = - 8 – 6i

    d)  z2²
        (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i

     e) (z1 + z2)( z1 - z2) 
         (1 – 3i + 2 + i)[1 – 3i – (2 + i)] =
         = (3 – 2i)[1 – 3i – 2 – i] = (3 – 2i)[-1 – 4i] =
         = -3 – 12i + 2i + 8 i² = -3 – 12i + 2i – 8 = -11 – 10i

Dados os complexos  z1 = a + 2i e z2 = 3 – bi, determine a e b para que 2z1 - z2  seja um imaginário puro.
Resolução:

z1 = a + 2i
z2 = 3 – bi
2z1 - z2 = 2(a + 2i) – (3 – bi) = 2a + 4i – 3 + bi =
= (2a – 3) + (4 + b)i
Para  2z1 - z2  seja um imaginário puro devemos impor:
2a – 3 = 0
2a = 3
a = 3/2
4 + b ≠ 0
b ≠ - 4

Calcule o valor do número z = (5 – i)² + (5 + i)².
Resolução:
z = 25 – 10i + i² + 25 + 10i + i² = 25 – 10i – 1 + 25 + 10i – 1 = 48

Determine o valor real de x para que o número complexo:
z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário puro.
Para que z seja um imaginário puro é necessário que Re(z) = 0,
Pois Im(z) = 3 ≠ 0
Então:
1 – 2x = 0
     -2x = -1
        x = 1/2
verificando, vem:
z = (1 – 2x) + 3i = (1-2.1/2) + 3i = 0 + 3i = 3i (imaginário puro)
logo, x = 1/2
z = (8 – x) + (2x – 3)i seja um número imaginário puro.
8 – x = 0
      x = 8
para x = 8, temos:
(2.8 – 3) = 13 ≠ 0
Logo, x = 8


Conjugado de um complexo
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Vamos obter os conjugados dos seguintes números:
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Divisão

Dados os complexos z1 e  z2   com z2  ≠ 0, podemos fazer
 z1 /z2    multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador.
Considere z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i.
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Exemplos:
Vamos efetuar a divisão de z1 = 2 + 4i   por   z2 = 5 – i ;
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Utilizando o conjugado de um número z, vamos obter o seu inverso:
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Escreva os conjugados dos seguintes complexos:
z = -3i + 1
conjugado: 1 + 3i
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Efetue as divisões:
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Simplifique a expressão:
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Determine o número complexo z tal que:
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(a + bi) – (a – bi) + (a + bi)(a – bi) = 8 + 4i
a  +  bi – a + bi + a² - abi + abi – bi² = 8 + 4i
2bi + a² + b² = 8 + 4i
2b = 4
b = 2
a² + b² = 8
a² + 4 = 8
a² = 4
Logo, z = 2 + 2i  ou  z = -2 + 2i

Potências de i
Estudando as potências de i

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